Bretagne-Tipp

mittendrin im Bretagne-Urlaub

Berechnung der Entfernung des Horizonts des Meeres

Herleitung der Formel

Die Blicklinie x des Betrachters ist eine Linie, die den gezeichneten Kreis (am Horizont der Erde) berührt und dort senkrecht zum Erdradius steht. Das gezeichnete Dreieck ist also ein rechtwinkliges Dreieck, für welches der Satz des Pythagoras a² + b² = c² gilt. Auf die in der Skizze sichtbare Situation übertragen gilt:

x² + r² = (r + h)²

So kann man bereits x ausrechnen, wenn man (r + h)² - r² berechnet und daraus die Wurzel zieht. Man kann die Gleichung aber auch noch vereinfachen, vielleicht, um am Strand die Meereshorizont-Entfernung im Kopf zu berechnen. Dazu wird die binomische Formel (a + b)² = a² + 2ab + b² angewendet:

x² + r² = r² + 2rh + h²

Das r² tritt auf beiden Seiten auf und kann abgezogen werden:

x² = 2rh + h²

Da es mir nicht wichtig ist, die Entfernung zum Horizont auf den Meter genau zu kennen, lasse ich das h² auf der rechten Seite weg. Ich benutze also eine "Näherungsformel" (Hinweis). Es gibt sowieso "Ungenauigkeiten": Schließlich werden die Lichtstrahlen als absolut geradlinig angenommen und die Erde als exakte Kugel. Beispielsweise ist der verwendete Wert des Erdradius ein "mittlerer Erdradius" und nicht einmal auf den Kilometer genau. Und wer möchte, kann natürlich auch ohne Näherung rechnen.

x² = 2rh

Gesucht ist also die Strecke x, die mit sich selbst multipliziert den Wert 2rh ergibt. Dies ist die "Wurzel" aus 2rh:

Berechnung

Beispiel: Beim Aufenthalt am Strand ist h ungefähr 2 m = 0,002 km, also 2rh = 2 x 6371 x 0,002 = 25,484. Die gesuchte Zahl x ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 25,484 ergibt, man erhält x = 5,048...., also ungefähr 5 km (5 x 5 = 25). Weitere Werte, auf 100 m genau gerundet (Augenhöhe → Entfernung des Horizonts):

2 m → 5,0 km, 10 m → 11,3 km, 20 m → 16,0 km, 30 m → 19,6 km, 50 m → 25,2 km, 70 m → 29,9 km

Hinweis

Dass die Näherungsformel den verwendeten Zahlenwert nicht sehr verfälscht, wenn man nicht zu hoch über den Meeresspiegel hinauskommt (wenn also die Augenhöhe h viel kleiner als der Erdradius r ist), zeigt eine Beispielrechnung: Wenn man für die Blickhöhe h = 70 m = 0,07 km (immerhin stehen wir dann schon auf einer Klippe des Cap Fréhel an der Nordküste der Bretagne) die Entfernung zum Horizont berechnet, so erhält man auf den Zentimeter genau gerundet x = 29,86536 km in der Näherung und x = 29,86545 km mit der genauen Formel. Die Näherungsformel liefert also einen 9 cm zu niedrigen Wert - bei fast 30 km Entfernung eine nicht gerade schwerwiegende Abweichung.